MBA考試數(shù)學(xué)常考知識點(diǎn)：數(shù)列
2016-04-28 14:41 | 太奇MBA網(wǎng)
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數(shù)列的函數(shù)理解：
?、贁?shù)列是一種特殊的函數(shù)。其特殊性主要表現(xiàn)在其定義域和值域上。數(shù)列可以看作一個“定義域為正整數(shù)集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}"的函數(shù)，其中的”{1，2，3，…，n}“不能省略。②用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識數(shù)列是重要的思想方法，一般情況下函數(shù)有三種表示方法，數(shù)列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法;b。圖像法;c.解析法。其中解析法包括以通項公式給出數(shù)列和以遞推公式給出數(shù)列。③函數(shù)不一定有解析式，同樣數(shù)列也并非都有通項公式。
數(shù)列的一般形式可以寫成
a1，a2，a3，…，an，a(n+1)，…
簡記為{an}，
項數(shù)有限的數(shù)列為“有窮數(shù)列”(finite sequence)，項數(shù)無限的數(shù)列為“無窮數(shù)列”(infinite sequence)。
數(shù)列的各項都是正數(shù)的為正項數(shù)列;
從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列;如：1，2，3，4，5，6，7;
從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列;如：8，7，6，5，4，3，2，1;
從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列叫做擺動數(shù)列; 各項呈周期性變化的數(shù)列叫做周期數(shù)列(如三角函數(shù));
各項相等的數(shù)列叫做常數(shù)列(如：2，2，2，2，2，2，2，2，2)。
通項公式：數(shù)列的第N項an與項的序數(shù)n之間的關(guān)系可以用一個公式an=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式(注：通項公式不唯一)。
遞推公式：如果數(shù)列{an}的第n項與它前一項或幾項的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式。
數(shù)列中項的總數(shù)為數(shù)列的項數(shù)。特別地，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})為定義域的函數(shù)an=f(n)。
如果可以用一個公式來表示，則它的通項公式是a(n)=f(n).
并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項公式。例如：π的不同近似值，根據(jù)精確的程度，可形成一個數(shù)列3，3.1，3.14，3.141，…它沒有通項公式。
數(shù)列中的項必須是數(shù)，它可以是實數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。
用符號{an}表示數(shù)列，只不過是“借用”集合的符號，它們之間有本質(zhì)上的區(qū)別：1.集合中的元素是互異的，而數(shù)列中的項可以是相同的。2.集合中的元素是無序的，而數(shù)列中的項必須按一定順序排列，也就是必須是有序的。
表示方法
如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。如an=(-1)^(n+1)+1。
數(shù)列通項公式的特點(diǎn)：(1)有些數(shù)列的通項公式可以有不同形式，即不唯一。(2)有些數(shù)列沒有通項公式
如果數(shù)列{an}的第n項與它前一項或幾項的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式。如an=2a(n-1)+1 (n>1)
數(shù)列遞推公式的特點(diǎn)：(1)有些數(shù)列的遞推公式可以有不同形式，即不唯一。(2)有些數(shù)列沒有遞推公式
等差數(shù)列
定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列(arithmetic sequence)，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差(common difference)，公差通常用字母d表示，前N項和用Sn表示。
縮寫
等差數(shù)列可以縮寫為A.P.(Arithmetic Progression)。
等差中項
由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以堪稱最簡單的等差數(shù)列。這時，A叫做a與b的等差中項(arithmetic mean)。
有關(guān)系：A=(a+b)/2
通項公式
an=a1+(n-1)d
a1=S1(n=1)時
an=Sn-S(n-1) (n≥2)時
an=kn+b(k,b為常數(shù))
前n項和
倒序相加法推導(dǎo)前n項和公式：
Sn=a1+a2+a3······+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
Sn=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)(n個)=n(a1+an)
固 Sn=n(a1+an)/2
等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半：
Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
性質(zhì)
且任意兩項am，an的關(guān)系為：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。
從等差數(shù)列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…，n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有
am+an=ap+aq
S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)(an+1)
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數(shù)列，等等。
前n項和=(首項+末項)×項數(shù)÷2
項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1
首項=2×前n和÷項數(shù)-末項
末項=2×前n和÷項數(shù)-首項
設(shè)a1,a2,a3為等差數(shù)列。則a2為等差中項，則2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。
應(yīng)用
日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別時，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數(shù)列進(jìn)行分級。
若為等差數(shù)列，且有an=m,am=n.則a(m+n)=0。
其于數(shù)學(xué)的中的應(yīng)用，可舉例：
快速算出從23到132之間6的整倍數(shù)有多少個
算法不止一種，這里介紹用數(shù)列算
令等差數(shù)列首項a1=24(24為6的4倍)，等差d=6,;
于是令an = 24+(n-1)*6<=132即可解出n=19
等比數(shù)列
定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列(geometric sequence)。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示。
縮寫
等比數(shù)列可以縮寫為G.P.(Geometric Progression)。
等比中項
如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項。
有關(guān)系：G^2=ab;G=±(ab)^(1/2)
注：兩個非零同號的實數(shù)的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)，所以G^2=ab是a,G,b三數(shù)成等比數(shù)列的必要不充分條件。
通項公式
an=a1q^(n-1)
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
前n項和
當(dāng)q≠1時，等比數(shù)列的前n項和的公式為
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
當(dāng)q=1時，等比數(shù)列的前n項和的公式為
Sn=na1
性質(zhì)
(1)若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq;
(2)在等比數(shù)列中，依次每 k項之和仍成等比數(shù)列。
(3)從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}
(4)等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底指數(shù)冪后構(gòu)成一個等差數(shù)列;反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。
(5) 等比數(shù)列前n項之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
(6)任意兩項am，an的關(guān)系為an=am·q^(n-m)
(7)在等比數(shù)列中，首項a1與公比q都不為零。
注意：上述公式中a^n表示A的n次方。
應(yīng)用
等比數(shù)列在生活中也是常常運(yùn)用的。
如：銀行有一種支付利息的方式---復(fù)利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。 按照復(fù)利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
(1)等比數(shù)列的通項公式是：An=A1*q^(n-1)
若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當(dāng)q>0時，則可把a(bǔ)n看作自變量n的函數(shù)，點(diǎn)(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點(diǎn)。
(2)求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
(前提：q不等于 1)
任意兩項am，an的關(guān)系為an=am·q^(n-m)
(3)從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}
(4)等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底對數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列;反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。
等和數(shù)列
定義
“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。
對一個數(shù)列，如果其任意的連續(xù)k(k≥2)項的和都相等，我們就把此數(shù)列叫做等和數(shù)列
性質(zhì)
必定是循環(huán)數(shù)列
證明：對任意正整數(shù)n，有an + an+1 + … + an+k-1 = an+1 + an+2 + … + an+k， 所以對任意正整數(shù)n，an = an+k，如果這個數(shù)列有n+k項的話。
練習(xí)
1、下面一列整數(shù)中(每個字母或括號都代表一個整數(shù))，任意相臨的3個整數(shù)的和都是20，則x+y+z=? x，2，()，()，()，4，()，y，()，()，z
2.(2004年湖南省理科實驗班聯(lián)合招生考試數(shù)學(xué)卷第2試第三題) 圓周上放著120個正數(shù)(不一定是整數(shù))，今知其中任何相連的35個數(shù)的和都是200.證明：這些數(shù)中的每一個數(shù)都不超過30.(旁注：題目中“相連”即“相臨”之意) 答案： 第1題 ： x=14,y=2,z=2 ， 故： x+y+z=18 ; 第2題 ： (120,35)=5 ，使5個數(shù)為一組，每7組的和是200，那么每組有 200/7<30 所以每一個數(shù)都不超過30。列的通項求法
一般有
an=Sn-Sn-1 (n≥2)
累和法(an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...將以上各項相加可得an )。
累乘法
逐商全乘法(對于后一項與前一項商中含有未知數(shù)的數(shù)列)。
化歸法(將數(shù)列變形，使原數(shù)列的倒數(shù)或與某同一常數(shù)的和成等差或等比數(shù)列)。
特殊數(shù)列的通項的寫法
1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n
2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n
1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1)
1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2
1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2 9,99,999,9999,99999,......... ------an=(10^n)-1
1,11,111,1111,11111.......--------an=[(10^n)-1]/9
衍生n,nn,nnn,nnnn,nnnnn......---------an=[(10^n)-1]*n/9,n為1-9的整數(shù)
1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2
1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1)
前N項和公式的求法
(一)1.等差數(shù)列：
通項公式an=a1+(n-1)d 首項a1，公差d, an第n項數(shù)
ak=ak+(n-k)d ak為第k項數(shù)
若a,A,b構(gòu)成等差數(shù)列 則 A=(a+b)/2
2.等差數(shù)列前n項和:
設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn
即 Sn=a1+a2+...+an;
那么 Sn=na1+n(n-1)d/2
=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n
還有以下的求和方法： 1,不完全歸納法 2 累加法 3 倒序相加法
(二)1.等比數(shù)列:
通項公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1為首項，an為第n項
an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1)
則an/am=q^(n-m)
(1)an=am*q^(n-m)
(2)a,G,b 若構(gòu)成等比中項，則G^2=ab (a,b,G不等于0)
(3)若m+n=p+q 則 am×an=ap×aq
2.等比數(shù)列前n項和
設(shè) a1,a2,a3...an構(gòu)成等比數(shù)列
前n項和Sn=a1+a2+a3...an
Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(這個公式雖然是最基本公式，但一部分題目中求前n項和是很難用下面那個公式推導(dǎo)的,這時可能要直接從基本公式推導(dǎo)過去，所以希望這個公式也要理解) Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q);
注： q不等于1;
Sn=na1 注:q=1
求和一般有以下5個方法： 1,完全歸納法(即數(shù)學(xué)歸納法) 2 累乘法 3 錯位相減法 4 倒序求和法 5 裂項相消法。
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