MBA數(shù)學提分：排列組合與集合的關(guān)系

2014-08-15 10:50 | 太奇MBA網(wǎng)

　　MBA綜合中數(shù)學的部分有一部分是考察排列組合與集合的關(guān)系 求排列組合就是求集合元素的個數(shù)。太奇MBA老師告訴MBA同學們用集合的觀點去解決排列組合的問題，思路會更清晰。

　　一、集合元素的個數(shù)以最常見的全排列為例，用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數(shù)字不重復的九位數(shù)，則每一個九位數(shù)都是集合A的一個元素，集合A中共有9!個元素。以下我們用S(A)表示集合A的元素個數(shù)。

　　二、集合的對應關(guān)系兩個集合之間存在對應關(guān)系(以前學的函數(shù)的概念就是集合的對應關(guān)系)。如果集合A與集合B存在一一對應的關(guān)系，則S(A)=S(B)如果集合A中每個元素對應集合B中N個元素，則集合B的元素個數(shù)是A的N倍(嚴格的定義是把集合B分為若干個子集，各子集沒有共同元素，且每個子集元素個數(shù)為N，這時子集成為集合B的元素，而A的元素與B的子集有一一對應的關(guān)系，則S(B)=S(A)*N

　　例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數(shù)字不重復的六位數(shù)集合A為數(shù)字不重復的九位數(shù)的集合，S(A)=9!集合B為數(shù)字不重復的六位數(shù)的集合。把集合A分為子集的集合，規(guī)則為前6位數(shù)相同的元素構(gòu)成一個子集。顯然各子集沒有共同元素。每個子集元素的個數(shù)，等于剩余的3個數(shù)的全排列，即3!這時集合B的元素與A的子集存在一一對應關(guān)系，則 S(A)=S(B)*3! S(B)=9!/3!這就是我們用以前的方法求出的P(9，6)

　　例2：從編號為1-9的隊員中選6人組成一個隊，問有多少種選法?設(shè)不同選法構(gòu)成的集合為C，集合B為數(shù)字不重復的六位數(shù)的集合。把集合B分為子集的集合，規(guī)則為全部由相同數(shù)字組成的數(shù)組成一個子集，則每個子集都是某6個數(shù)的全排列，即每個子集有6!個元素。這時集合C的元素與B的子集存在一一對應關(guān)系，則 S(B)=S(C)*6! S(C)=9!/3!/6!這就是我們用以前的方法求出的C(9，6) 以上都是簡單的例子，似乎不用弄得這么復雜。但是集合的觀念才是排列組合公式的來源，也是對公式更深刻的認識。大家可能沒有意識到，在我們平時數(shù)物品的數(shù)量時，說1，2，3，4，5，一共有5個，這時我們就是在把物品的集合與集合(1，2，3，4，5)建立一一對應的關(guān)系，正是因為物品數(shù)量與集合(1，2，3，4，5)的元素個數(shù)相等，所以我們才說物品共有5個。我寫這篇文章的目的是把這些潛在的思路變得清晰，從而能用它解決更復雜的問題。

　　例3：9個人坐成一圈，問不同坐法有多少種? 9個人排成一排，不同排法有9!種，對應集合為前面的集合A 9個人坐成一圈的不同之處在于，沒有起點和終點之分。設(shè)集合D為坐成一圈的坐法的集合。以任何人為起點，把圈展開成直線，在集合A中都對應不同元素，但在集合D中相當于同一種坐法，所以集合D中每個元素對應集合A中9個元素，所以S(D)=9!/9 我在另一篇帖子中說的方法是先固定一個人，再排其他人，結(jié)果為8!。這個方法實際上是找到了一種集合A與集合D之間的對應關(guān)系。用集合的思路解決問題的關(guān)鍵就是尋找集合之間的對應關(guān)系，使一個集合的子集與另一個集合的元素形成一一對應的關(guān)系。

　　例4：用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數(shù)字不重復的九位數(shù)，但要求1排在2前面，求符合要求的九位數(shù)的個數(shù)。集合A為9個數(shù)的全排列，把集合A分為兩個集合B、C，集合B中1排在2前面，集合C中1排在2后面。則S(B)+S(C)=S(A)在集合B、C之間建立以下對應關(guān)系：集合B中任一元素1和2位置對調(diào)形成的數(shù)字，對應集合C中相同數(shù)字。則這個對應關(guān)系為一一對應。因此S(B)=S(C)=9!/2 以同樣的思路可解出下題：從1、2、3…，9這九個數(shù)中選出3個不同的數(shù)作為函數(shù)y=ax*x+bx+c的系數(shù)，且要求a>b>c，問這樣的函數(shù)共有多少個?

　　例5：M個球裝入N個盒子的不同裝法，盒子按順序排列。這題我們已經(jīng)討論過了，我再用更形象的方法說說。假設(shè)我們把M個球用細線連成一排，再用N-1把刀去砍斷細線，就可以把M個球按順序分為N組。則M個球裝入N個盒子的每一種裝法都對應一種砍線的方法。而砍線的方法等于M個球與N-1把刀的排列方式(如兩把刀排在一起，就表示相應的盒子里球數(shù)為0)。所以方法總數(shù)為C(M+N-1，N-1) 例6：7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的順序不能改變且不相鄰, 則共有多少種排法.。

　　解：甲、乙、丙三人把其他四人分為四部分，設(shè)四部分人數(shù)分別為X1，X2，X3，X4，其中X1，X4》=0，X2，X3》0 先把其余4人看作一樣，則不同排法為方程 X1+X2+X3+X4=4的解的個數(shù)，令X2=Y2+1，X3=Y3+1 化為求X1+Y2+Y3+X4=2的非負整數(shù)解的個數(shù)，這與把2個球裝入4個盒子的方法一一對應，個數(shù)為C(5，3)=10 由于其余四人是不同的人，所以以上每種排法都對應4個人的全排列4!，所以不同排法共有C(5，3)*4!=240種。集合的方法運用熟練后，不需要每次具體設(shè)定集合，但頭腦中要有清晰的對應關(guān)系。